Spheren
Muziek van
Paul Merkus
Muzikale frequentieverhoudingen en hun historie

Stemmingen

Tijdens mijn studie Technische Natuurkunde aan de TU/e heb ik o.a. met veel interesse (in 1983) het vak muziekakoestiek gevolgd (gegeven door prof. Aad Houtsma). Dit vak werd destijds niet afgesloten met een tentamen, maar de het schrijven van een "term paper", een soort scriptie over een zelf te kiezen onderwerp, relevant voor het onderwerp van dit vak.
Vanuit mijn interesses op het grensvlak tussen natuurkunde en muziektheorie heb ik destijds gekozen voor het onderwerp van de verschillende stemmingen (gelijkzwevend en andersinds), vandaar de titel "Muzikale frequentieverhoudingen en hun historie".

Het document bevat de nodige berekeningen, iets wat ik toen als heel waardevol beschouwde (immers, rekenen was lastig), berekeningen die ik destijds allemaal gemaakt heb op een TI-58 pocket calculator. Dit omdat er toen nog amper PC's waren en ik daar toen zeker geen toegang toe had. En uiteraard zijn alle document referenties van voor 1983 ...

Hierbij naast een scan van het originele hand-getypte document, gedigitaliseerde imitatie hiervan (netter en doorzoekbaar) en een "moderne" versie. Deze gemoderniseerde versie bevat allerlei aanpassingen aan de huidige tijd en benut volop mogelijkheden die de huidige software tools wel kunnen bieden maar die destijds (met alleen een typemachine en een pocket calculator) nog niet mogelijk waren:

  • Huidige spelling (dus geen "frekwentie" meer, maar weer "frequentie")
  • Gebruik van Times Roman font in plaats van Courier typemachineletter
  • Gebruik van niet alleen onderstreping maar ook italics en bold
  • Moderner en consistenter gebruik van paragraafnummering
  • Meer achtergrond achter de berekeningen (naast getalsmatige uitkomsten)
  • Geen handgetekende kwintencirkels meer
  • Referenties naar internet bij bibliografie
  • Beheerster beheer van indentatie
  • Gebruik van tabellen

Samenvatting:
Op het raakvlak van muziekwetenschap en natuurkunde ligt de problematiek rond de stemming van toetsinstrumenten, omdat bij dergelijke instrumenten met een vaste toonhoogte een nauwkeurige definitie van de toonhoogtes vereist is. Wanneer we echter trachten een dergelijk muzikaal ideaal te definiŽren, dan blijkt dat, ondanks dat er wel "reine intervallen" zijn, het onmogelijk is om een "reine toonladder" te definiŽren. De resulterende verschillen kunnen uitgedrukt worden in micro-intervallen zoals onder meer de PythagoreÔsche komma en de diŽsis. In de zoektocht naar compromissen qua stemming zijn er door de jaren heen verschillende principes geŽxploreerd om deze problemen te omzeilen (waaronder de middentoonstemming, en stemmingen van Silbermann en Werckmeister en anderen), maar is de gelijkzwevende stemming voor toetsinstrumenten uiteindelijk gaan prevaleren. In dit document worden deze verschillende stemmings-systemen niet alleen beschreven qua harmonische kwaliteiten, maar ook qua melodisch verloop, onder meer gevisualiseerd door het plaatsen van de micro-intervallen tegen de achtergrond van de kwintencirkel.

Documenten:

In order to reach a wider audience, I have also made an English translation of the termpaper from 1984.

Abstract:
At the interface between music science and physics there is the problem how to tune keyboard instruments, a such instruments with a fixed pitch require an accurate definition of pitches. However, when we attempt to define such a musical ideal, it appears that, despite the fact that there are "perfect intervals", it is impossible to define a "perfect scale". The resulting differences can be expressed in micro-intervals such as the Pythagorean comma and the diŽsis. In the quest for compromises in terms of tuning, various principles have been explored over the years to circumvent these problems (including the meantone temperament, and tunings by Silbermann and Werckmeister and others), but the equal temperament for keyboard instruments has eventually prevailed. In this document such different tuning systems are not only described in terms of harmonic qualities, but also in terms of melodic progress, among others visualized by placing the micro-intervals against the background of the circle of fifths.

Document: